Entfernungsmessungen

Zwischen einem Beobachter und einem Objekt

Es stellt sich für viele Menschen oft die Frage, bis zu welcher Entfernung sie einen Berg, ein Gebäude oder sonst etwas von ihrem aktuellen Standpunkt auf Grund der Erdkrümmung noch über dem Horizont sehen können.
Diese Frage ist für Segler und andere Wassersportler natürlich von besonderer Bedeutung, obwohl durch die Einführung des GPS derartige terrestrische Messungen stark an Bedeutung verloren haben. Für besonders Interessierte ein wenig Mathematik.

Es lässt sich gut berechnen, ab wann z.B. eine Landmarke (Turm, Berg, Gebäude) oder nachts ein Leuchtfeuer auf Grund der Erdkrümmung frühestens zu sehen ist.
Für den Abstand von einem Beobachter mit der Augen-Höhe h1 - z..B. auf einem Schiff, Turm oder Berg - zu einem Objekt mit der Höhe h2 gilt:

Formel

Erklärung der obigen Gleichung

Es gilt mit  Hilfe des Satzes von Pythagoras:

(r1 + h1)2 = d2 + r2

Die Klammer aufgelöst und nach d2 umgestellt ergibt:

d2 = r2 - r2 + 2r · h1 + h12 = 2 r · h1 + h12

Wenn man h1 ausklammert, folgt:

d2 = h1 · (2 r + h1)

Da 2 · r der Durchmesser der Erde = 12.756 km ist und h1 in der Regel nur einige hundert Meter beträgt, lässt sich (2 r + h1) ungefähr gleich 2 · r setzen, ohne einen wesentlichen Fehler zu machen:

Formel

Sofern man r in km und h1 in m (1 km = 1000 m) angibt, ergibt sich:

Formel

Damit ergibt sich für d1

Formel

Dieselbe Rechnung ergibt sich für d2:

Formel

Da der gesamte Abstand d des Beobachters mit der Höhe h1 vom Objekt (mit der Höhe h2 die Summe von d1 + d2 ist, folgt:

Formel

12.756/1000 = 12,756.

Die Wurzel daraus ergibt 3,57. 

Da sich das Licht in der Atmosphäre aber nicht geradlinig ausbreitet, sondern wegen der verschiedenen Dichte der einzelnen Luftschichten kontinuierlich gebrochen wird, sieht man ein Objekt bereits etwas hinter dem Horizont, also weiter, als es nach der obigen Gleichung der Fall wäre. Sofern man diesen Effekt mit berücksichtigt und einen so genannten Streckungsfaktor von z.B. 1,075  einführt, was z.B. in nautischen Veröffentlichungen gemacht wird, so ergibt sich das obige Ergebnis mit dem Faktor von 3, 845. 
Da in der Nautik in Seemeilen (sm) gerechnet wird, muss diesen Wert noch durch 1,852 dividieren, da 1 sm = 1,852 km ist, um zur Entfernungsangabe in Seemeilen zu gelangen..

Rechenbeispiel
Aus welcher Entfernung man die Berge Korsikas bei der Annäherung mit einem Fährschiff von einer Deckshöhe von 30 m erkennen? Um das Land wirklich gut erkennen zu können, gehen wir davon aus, dass die Gipfel der Berge bereits ein gutes Stück über dem Horizont erscheinen sollen. Daher wählen wir eine Höhe der Berge von z.B. 1.000 m, obwohl eine Reihe der dortigen Berge um einiges höher sind.

Mit der obigen Gleichung folgt:

Formel

daraus folgt:

Formel

Nur auf Grund der Erdkrümmung könnte man die Berge Korsikas von einem Fährschiff auf einer Deckshöhe von 30 m bereits aus einer Entfernung von rund 143 km ein Stück über dem Horizont (Kimm) erkennen.

Auf Grund der meteorologischen Sichtverhältnisse wird dies jedoch nicht möglich sein. Näheres dazu siehe unter Meteorologie/Sichtverhältnisse.

Berechnung mit Hilfe von geografischen Koordinaten

Die Erde sei für die folgenden Berechnungen als ideale Kugel betrachtet, was sie bekanntermaßen nicht exakt ist, da sie an den Polen etwas abgeflacht ist. Aber der dadurch erhaltene Fehler ist für diesen Zweck zu vernachlässigen

Es stellt sich aus allen möglichen Gründen immer wieder die Frage, wie weit die kürzeste Entfernung von einem Ort der Erde zu einem anderen ist. Innerhalb kleinerer Entfernungen, also z.B. innerhalb Deutschlands, lässt sich das leicht mit Hilfe einer Karte und des darin dargestellten Kartenmaßstabs bestimmen. Aber im Zeitalter der Interkontinentalflüge ist es auch interessant zu wissen, wie weit ein bestimmtes fernes Urlaubsziel entfernt liegt. Dabei könnte man auch in diesem Fall eine große Karte nehmen und wie üblich, mit Hilfe des Maßstabs die Entfernung bestimmen. Eine derartig zustande gekommene Entfernung bezeichnet man als Loxodrome.

Ein Segler z.B. würde mit Hilfe von Karten (Seekarten) auf einer Loxodrome stets denselben Kurs steuern können, um sein Ziel zu erreichen. Aber es ist dann nicht die kürzeste Entfernung, auf der er sein Ziel (Hafen, Insel, Bucht) ansteuert.

Die kürzeste Entfernung auf der Erdkugel sind Großkreise. Nach denen fliegen in der Regel die Interkontinentalflugzeuge, aber auch die Schiffe bei längeren Fahrten. Diese kürzesten Entfernungen über Großkreise werden als Orthodrome bezeichnet. Da die geografischen Koordinaten, also die Länge und Breite des Startortes und des Zielortes in der Regel bekannt sind, kann man die kürzeste Entfernung mit Hilfe eines Taschenrechners leicht selber berechnen. Dazu muss man den Winkel des Kreisbogens L - also der gesuchten Entfernung - in der Abbildung abgekürzt mit g, im Bogenmaß berechnen und dann mit dem Erdradius r = 6.378 km multiplizieren.
Der Kosinus des Winkels g (in Grad) berechnet sich wie folgt:

cos g = sin (Breite 1) · sin (Breite 2) + cos (Breite 1) · cos (Breite 2) · cos (Länge 2 - Länge 1)

Gl. 1

Wichtig ist dabei, dass alle Winkel mit nördlicher Breite und östlicher Länge positiv und alle mit südlicher Breite und westlicher Länge in Gl. 1 negativ eingegeben werden müssen.

Um den Winkel g aus Gl. 1 zu erhalten, drückt man auf einem Taschenrechner die Invers-Taste und anschließend die Taste cos. Mathematisch ist das der Arcuscosinus. Diesen so berechneten Winkel g in Grad rechnet man dann ins Bogenmaß um, indem man ihn mit 2 π mal nimmt und durch 360° dividiert. Also:

Formel: Bogenmaß

Gl. 2

Die gesuchte Entfernung L erhält man dann, wie erwähnt, durch Multiplikation mit dem Erdradius, also:

L = g (im Bogenmaß) · 6.378 km

Gl. 3

Beispiel
Es stellt sich die Frage, ob der neue Airbus A 380 mit einer Reichweite von rund 15.500 km von Frankfurt/M nach Sydney in Australien ohne Zwischenstopp fliegen kann? Die gesuchte Entfernung nach Sydney berechnet sich nach dem Gesagten mit den Koordinaten von Frankfurt und Sydney dann wie folgt:

Frankfurt/M
Breite = 50°07' = 50,117° Nord
Länge = 8°41' = 8,683 Ost

Sydney
Breite = 33°53' = 33,883 Süd
Länge = 151°12' = 151,2° Ost

Diese Werte in Gl. 1 eingesetzt ergibt:

cos g (im Gradmaß) = sin 50,177 · sin -33,883 + cos 50,177 · cos -33,883 · cos (151,2 - 8,683)

Also:

cos g = (-0,428) + (-0,422) =

cos g = -0,85 [Drücken der Taste Invers und dann cos]

g (im Gradmaß) = 148,12°

Formel: Bogenmaß

L (= Entfernung) = 2,585 · 6.378 km = 16.489 km

Da die kürzeste Entfernung von Frankfurt/M nach Sydney 16.489 km beträgt, kann der A 380 Sydney nicht ohne Zwischenstopp erreichen.