Zerfallsgesetz, Halbwertszeit, Lebensdauer

Allgemeine Vorbemerkungen

Die Halbwertszeit bzw. die mittlere Lebensdauer von radioaktiven Substanzen sind statistische Größen, die daher nichts über ein einzelnes Radionuklid aussagen. Als Beispiel sei ein Neutron betrachtet, das außerhalb eines Atomkerns eine Halbwertszeit von rund 10 Minuten besitzt.
Betrachtet man beispielsweise ein einzelnes Neutron, so kann es in dem Moment zerfallen, in dem es entstanden ist, z.B. in einem Kernreaktor, es kann aber auch Tage, Wochen oder gar Jahre dauern bis es zerfällt. Betrachtet man aber sehr viele Neutronen, so lässt sich eine gute Voraussage darüber machen, wann z.B. die Hälfte von ihnen zerfallen ist. Neutronen zerfallen übrigens in Protonen, Betaminusteilchen und Antineutrinos.

Halbwertszeit

Der Zerfall sehr vieler radioaktiver Teilchen (Radionklide) lässt sich mit Hilfe der Halbwertszeit oder der mittleren Lebensdauer gut beschreiben. Dabei sind beide Größen für jeses Radionuklid verschieden und tabelliert.
Die Halbwertszeit T1/2 ist die Zeit, nach der die Hälfte einer großen Anzahl von Radionukliden zerfallen ist. Dabei wird aber angenommen, dass das entstande Zerfallsprodukt stabil ist und das Ausgangsnuklid nicht das Zerfallsprodukt eines anderen Nuklids ist. Andernfalls ergibt sich eine Gleichung, die den Rahmen dieser Beschreibung sprengen würde. Die folgende Gleichung beschreibt einen derartigen Zerfall:

Nt = N0 · e- t · λ Gl.1

Mit:
N0 = Anzahl von Radionukliden zum Beginn der Betrachtung, also für t = 0
Nt = Anzahl von Radionukliden nach der Zeit t
e = Basis des natürlichen Logarithmus (2,71)
λ (lambda) = Zerfallskonstante
t = die Zeit, die nach dem Beginn der Betrachtung, also seit t = 0, vergangen ist

Die Zerfallskonstante λ und die Halbwertszeit T1/2 hängen wie folgt zusammen:

λ = ln2 : T1/2 Gl. 2
(ln2 = 0,693)

Normalerweise kennt man aber nicht die Anzahl von Radionukliden sondern deren Aktivität A, also Zerfälle pro Sekunde, die in Becquerel (Bq), oft auch in Megabecquerel (MBq) angegeben wird.
Daher ist es sinnvoll in der obigen Gleichung statt der Größen Nt und N0 die Aktivitäten At und A0 einzusetzen.

At = A0 · e- t · λ = A0 · e- t · ln2:T1/2 Gl. 3
Gleichung 1 und Gl. 3 bzw. deren grafische Darstellung werden als Zerfallsgesetz bezeichnet.

Hinweis
Es sei für Berechnungen darauf hingewiesen, dass eln2 den Wert 2 und elne den Wert e ergibt

Mittlere Lebensdauer

Unter der mittleren Lebensdauer τ (thau) versteht man die Zeit, nach der eine große Anzahl von Teilchen bzw. deren Aktivität auf ein e´tel (1/2,71), also auf rund 37% der ursprünglichen Aktivität zerfallen ist.
Es gilt für diesen Fall:

At = A0 · e- t · τ Gl. 4

Halbwertszeit und mittlere Lebensdauer

Die Halbwertszeit T1/2 und die mittlere Lebensdauer τ (thau) einer radioaktiven Substanz sind eng miteinander verbunden und hängen wie folgt zusammen:

T1/2 = ln2 · τ Gl. 5

Biologische Halbwertszeit

Die Biologische Halbwertszeit Tbio. ist keine physikalische sondern eine biologische bzw. medizinische Größe. Sie sagt aus, nach welcher Zeit eine in den Körper gelangte radioaktive Substanz auf die Hälfte reduziert worden ist, also aus dem Körper ausgeschieden wurde. Diese Größe ist für jedes Radionuklid bzw. seine Verbindungen verschieden. Die biologische und physikalische Halbzeit addieren sich wie folgt zur gesamten Halbwertszeit:

1/Tges. = 1/T1/2 + 1/Tbio. Gl. 6

Mit Hilfe der Bruchrechnung ergibt sich aus Gl.6 der Wert für die gesamte Halbwertszeit wie folgt:

Tges. = (T1/2 · Tbio.) : (T1/2 + Tbio.) Gl. 7

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